Un modello matematico per la disuguaglianza

Numerose fonti analizzano l’incremento della diseguaglianza economica tra individui all’interno dello stesso stato, in particolare a partire dal secondo dopoguerra (vedi ad es. Piketty La diseguaglianza dei redditi negli Stati Uniti, 1920-2010).

Secondo la banca Credit Suisse nel 2009 l’1% della popolazione deteneva circa il 41% della ricchezza mondiale mentre nel 2019 si arrivava al 45% (vedi global-wealth-databook-2019).

Studiosi come Thomas Piketty, Joseph E. Stiglitz, Antony B. Atkinson hanno analizzato il fenomeno e ricercato le sue cause: preponderanza delle rendite finanziarie rispetto ai profitti da attività produttive, libero mercato, innovazione tecnologica e conseguente mutamento del mondo del lavoro.

Negli ultimi anni alcuni studi basati su semplici modelli della distribuzione della ricchezza sviluppati da matematici e fisici hanno proposto una diversa chiave di lettura. Una descrizione di questo approccio è riportata nell’articolo Misurare la disuguaglianzadi Bruce M. Boghosian apparso su Le Scienze di febbraio 2020. Questi modelli riescono a riprodurre la misura della diseguaglianza in vari paesi con una precisione mai raggiunta sinora.

Il modello affine della ricchezza (AWM) prevede che un certo numero di “agenti” (soggetti economici) operino nell’ambito di un sistema chiuso, ovvero senza creare o distruggere ricchezza, e interagiscano tra loro secondo alcune semplici regole che intendono rappresentare il libero mercato. Il modello non considera la variazione di ricchezza totale del sistema (ad es. uno stato) né descrive redditi o consumi, ma solo la distribuzione di ricchezza dei singoli in qualsiasi forma (denaro, proprietà, etc.).

In particolare si svolgono tra coppie di agenti delle transazioni di scambio di beni (ad es. compravendite) che portano ad un trasferimento di una quantità di ricchezza da un agente ad un altro in maniera completamente casuale ma equa, ad es. come se si lanciasse una moneta e si giocasse a testa o croce.

La posta in gioco, ovvero la quantità che sarà trasferita al termine della transazione, è stabilita come una percentuale fissa e relativamente piccola della ricchezza del più povero dei due agenti. Questo assunto è verosimile in quanto in genere si cerca di non rischiare un importo che possa alterare significativamente il tenore di vita.

Per vedere i risultati di questo modello si parte da una distribuzione iniziale della ricchezza tra gli agenti, ad es. assegnando a tutti lo stesso capitale, e si esegue un certo numero di transazioni scegliendo a caso le coppie di agenti e sempre a caso il vincitore.

Il risultato che si ottiene è quasi stupefacente: a lungo andare tutta la ricchezza va nelle mani di un singolo individuo. E non perché qualcuno lo ha voluto o lo ha imposto, ma per effetto delle leggi del caso.

Infatti, se si utilizza l’indice di Gini per riportare sinteticamente la misura della diseguaglianza (è un numero compreso tra 0 perfetta uguaglianza e 1 massima diseguaglianza), questo modello ci dice che indipendentemente dalla distribuzione iniziale della ricchezza il valore aumenta sempre.

Va evidenziato come nel modello non si considera nessuna particolarità degli agenti, cioè nessuno è più bravo o furbo degli altri ed in ogni transazione ha la stessa possibilità di vincere o perdere la quota. Come mai allora si va verso l’oligarchia? Una chiave di lettura di questi sorprendenti risultati sta nel fatto che chi inizia a vincere è favorito perché gli altri rischiano una quota percentualmente inferiore del suo patrimonio. Quindi basta un piccolo colpo di fortuna all’inizio per rompere l’equilibrio iniziale o, per utilizzare un termine proprio della fisica, si determina una rottura della simmetria.

E’ infatti dalla fisica che i ricercatori hanno attinto metodi e strumenti per modellare l’evoluzione di questo sistema economico con un approccio utilizzato in campi come la termodinamica o il magnetismo.

Per verificare se il modello è attendibile i ricercatori hanno cercato un riscontro con i dati relativi alle economie reali negli ultimi anni. Per fare ciò il modello è stato migliorato introducendo alcune modifiche.

In primo luogo si è considerato come nelle transazioni l’agente più ricco è in genere favorito, per competenze, rapporti interpersonali, capacità di avere finanziamenti, etc. e questo è stato riportato attraverso un parametro Z che indica quanto l’esito delle transazioni è modificato a suo favore.

Inoltre nelle economie reali i sistemi di tassazione contribuiscono ad una redistribuzione verso i redditi più bassi e quindi il modello simula una componente fiscale pari a X per ogni unità di valore. Occorre precisare che non si considera la pressione fiscale, ma l’effettivo trasferimento di valore verso la parte più debole della popolazione.

Se Z è maggiore di X cioè se letransazioni favoriscono i più ricchi in misura maggiore della redistribuzione il modello prevede la rapida formazione di oligarchie, situazione simile a quanto accaduto nel 1991 in molti degli stati dell’ex blocco sovietico (e nella stessa Russia) dopo la caduta dell’URSS.

Con queste integrazioni il modello riesce a riscontrare la distribuzione della ricchezza negli USA e nell’Europa negli anni 1989-2016 con una precisione tra l’1% ed il 2%.

Per finire è stata prevista la possibilità di avere una ricchezza negativa pari a K volte la ricchezza media. Questo consente agli agenti di ricevere un prestito prima della transazione con l’obbligo della restituzione immediatamente dopo e serve a modellare situazioni reali con debiti (ad es. mutui o prestiti d’onore di studenti).

Il modello affine della ricchezza con questi parametri Z, X, K è in grado di descrivere la distribuzione della ricchezza in Europa nel 2010 con una precisione migliore dello 0,5%. Se si considerano i dati della BCE tutti i paesi con l’eccezione dei Paesi Bassi hanno valori di Z leggermentemaggiori di X cioè vanno verso una moderata oligarchia. Per inciso l’Italia mostra una propensione verso l’oligarchia superiore a quella della Germania e della Francia. La situazione è illustrata nel grafico in maniera chiara.

Un modello matematico ovviamente non può fornire indicazioni politiche o etiche, ma può essere utile per mettere a punto degli strumenti di governo.

Questo modello mette in evidenza come la ricchezza ha una naturale tendenza a fluire verso l’alto e di come il caso e le condizioni iniziali (eredità, posizioni di vantaggio competitivo) sono importanti per raggiungere posizioni economicamente rilevanti. Inoltre, senza interventi correttivi una economia di mercato non raggiunge uno stato di equilibrio, ma favorisce la formazione di oligarchie.

In particolare senza misure efficaci di redistribuzione del reddito in un contesto di libero mercato la tendenza alla concentrazione della ricchezza è nella natura delle cose ed è quindi compito della politica intervenire per evitare pericolose situazioni di formazioni di oligarchie pur nel rispetto delle capacità ed impegno individuali che rendono ognuno diverso dall’altro.

La storia ci ha ormai insegnato che perseguire a tutti costi l’assoluta eguaglianza economica di tutti gli individui ha implicazioni negative sia sul piano economico sia nell’ambito delle libertà individuali. Tuttavia, mentre è accettabile una distribuzione non uniforme della ricchezza che garantisca comunque l’accesso ai servizi universali (sanità, istruzione, assistenza, etc.), è deprecabile che nelle mani di pochi si concentri una quota rilevante delle ricchezze di un paese in modo sproporzionato rispetto alle capacità dei singoli. Ovvero c’è una misura oltre la quale l’arricchimento minaccia la stabilità del sistema nel quale si verifica.

Claudio Gasbarrini

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